المعادلة - ما هو؟ تعريف وأمثلة

في سياق مدرسة الرياضيات، والطفل يسمع لأول مرة مصطلح "المعادلة". ما هو عليه، في محاولة لفهم معا. في هذه المادة ونحن نظر في أنواع وطرق الحل.

الرياضيات. معادلة

لبدء تقديم للتعامل مع مفهوم جدا من ما هو عليه؟ كما جاء في كثير من كتب الرياضيات، المعادلة - انها بعض التعبيرات بين الذي يجب أن يوقع بالتأكيد المساواة. في هذه العبارات، هناك رسائل، ما يسمى المتغير، وقيمة الذي ويجب العثور عليها.

ما هو متغير؟ هذه السمة النظام الذي يغير قيمته. وخير مثال على المتغيرات هم:

• درجة حرارة الهواء.
• نمو الطفل؛
• الوزن وهلم جرا.

في الرياضيات، تم تصنيفها من قبل الخطابات، مثل س، أ، ب، ج ... عادة مهمة الرياضيات هي على النحو التالي: العثور على معادلة قيمة. هذا يعني أنك في حاجة للعثور على قيمة هذه المتغيرات.

نوع

المعادلة (أي، ناقشنا في الفقرة السابقة) قد تكون من الشكل التالي:

• الخطية.
• الساحة.
• مكعب.
• جبري.
• المتعالي.

لمعرفة المزيد عن جميع أنواع، والنظر في كل على حدة.

معادلة خطية

هذا هو النوع الأول، والتي تعرف تلاميذ المدارس. عقدوا العزم إلى حد ما بسرعة وسهولة. وهكذا، فإن المعادلة الخطية، ما هو؟ هذا التعبير من النموذج: ق = ج. لذلك ليست واضحة جدا، لذلك نعطي بعض الأمثلة: 2 = 26؛ 5X = 40؛ 1.2X = 6.

دعونا نتأمل الأمثلة المعادلات. لذلك نحن بحاجة لجمع كل البيانات المعروفة من جهة، وغير معروفة لدى البعض: س = 26/2. س = 40/5. س = 6 / 1.2. استخدمت هناك قواعد الابتدائية الرياضيات: أ * ج = ه، وهذا ج = ه / أ. و= ه / ثانية. من أجل استكمال الحل من المعادلة، ونحن أداء عمل واحد (في هذه الحالة، القسمة) س = 13؛ س = 8؛ س = 5. وكانت هذه الأمثلة في الضرب للعرض الآن في الطرح وبالإضافة إلى ذلك: س + 3 = 9؛ 5-10X = 15. يتم نقل البيانات المعروفة في اتجاه واحد: س = 9-3. س = 20/10. ونحن أداء الإجراء الأخير: س = 6؛ س = 2.

أيضا المتغيرات ممكنة من المعادلات الخطية، حيث أكثر من متغير واحد: 2x أخرى-2Y = 4. من أجل حل، فمن الضروري إضافة كل جزء 2Y، وحصلنا على 2X-2Y + 2Y = 4-2u، كما رأينا، على اليسار جانب تساوي علامة و-2u + 2Y انخفاض، وبالتالي نحن مع اليسار: 2X = 4 -2u. الفجوة خطوة النهائي كل جزء من الثانية، نحصل على الجواب: X هو ناقص اثنين ذ.

توجد مشاكل مع المعادلات حتى في بردية ريند الرياضية. هذا هو واحد من المشاكل: عدد والجزء الرابع يعطي ما مجموعه 15. لحل هذه المشكلة نكتب المعادلة التالية: X زائد واحد يساوي X الرابع عشر. ونحن نرى مثالا آخر على معادلة خطية للحلول الشاملة، وحصلنا على الجواب: س = 12. ولكن هذه المشكلة يمكن حلها بطريقة أخرى، وهي المصرية، أو كما يطلق عليه بطريقة مختلفة، وسيلة للمضاربة. في البردي استخدام الحل التالي: أخذ أربعة وربع من ذلك، وهذا هو واحد. وباختصار، فإنها تعطي خمسة، خمسة عشر الان تقسم على مجموع، وحصلنا على الثلاث، والإجراء الأخير من ثلاثة مضروبة في أربعة. نحصل على الجواب: 12. لماذا نحن في التعامل مع خمسة عشر مقسومة على خمسة؟ لذلك نحن معرفة عدد مرات خمسة عشر، وهذا هو، والنتيجة التي نحن بحاجة للحصول على خمسة على الأقل. في هذه الطريقة، ونحن حل المشاكل في القرون الوسطى، أصبح ليتم استدعاؤها طريقة وضع كاذبة.

المعادلات من الدرجة الثانية

وبالإضافة إلى الأمثلة التي نوقشت سابقا، وهناك آخرون. ما هي؟ معادلة من الدرجة الثانية، ما هو؟ لديهم شكل الفأس ² + ب س + ج = 0. لحلها، تحتاج للتآلف مع بعض المفاهيم والقواعد.

أولا، تحتاج إلى العثور على التمايز الصيغة: ب ² -4ac. هناك ثلاث طرق لحل النتيجة:

• التمايز هو أكبر من الصفر.
• أقل من الصفر.
• هو صفر.

في النسخة الأولى يمكن أن نحصل على جواب من اثنين من الجذور، والتي وفقا للمعادلة: -b + جذر من التمايز مقسوما على ضعف معامل الأول، أي 2A.

في الحالة الثانية، جذور المعادلة هناك. القضية الثالثة هي جذر الصيغة: -b / 2A.

نتأمل على سبيل المثال معادلة من الدرجة الثانية لمعرفة أكثر تفصيلا: التربيعية ثلاثة X ناقص أربعة عشر X ناقص خمسة يساوي الصفر. بادئ ذي بدء، كما هو مكتوب أعلاه، تبحث التمايز، في حالتنا أنها تساوي 256. لاحظ أن الرقم الناتج هو أكبر من الصفر، وبالتالي فإننا يجب أن تحصل على رد تتكون من اثنين من الجذور. بديل تم الحصول عليها في صيغة التمايز لإيجاد الجذور. ونتيجة لذلك، لدينا: X يساوي خمسة وناقص الثلث.

حالات خاصة في المعادلات التربيعية

هذه هي الأمثلة التي بعض القيم صفر (أ، ب أو ج)، وربما أكثر من ذلك.

على سبيل المثال، والنظر في المعادلة التالية، وهو مربع، وهما مربع X يساوي الصفر، وهنا نرى أن (ب) و (ج) تساوي الصفر. دعونا نحاول حلها، لذلك كلا الجانبين من القسمة على اثنين، لدينا: × ² = 0. ونتيجة لذلك، نحصل على س = 0.

قضية أخرى هي 16X ² = 0 -9. هنا، فقط ب = 0. تمكنا من حل المعادلة، ومعامل انتقال حر إلى الجانب الأيمن: 16 × ² = 9، هي الآن ينقسم كل جزء من ستة عشر × ² = 9/16. وبما أننا قد التربيعية س، الجذر التربيعي 16/09 يمكن أن تكون إما سلبيا أو إيجابيا. يتم كتابة الإجابة على النحو التالي: X يساوي زائد / ناقص ثلاثة أرباع.

ممكن وهذا الجواب، مثل جذور المعادلة لا. دعونا نلقي نظرة على ما يلي على سبيل المثال: 5 × ² + 80 = 0، حيث ب = 0. في ينتشر أجل حل على المدى المستمر إلى الجانب الأيمن، وبعد هذه الخطوات، نحصل على: 5X ² = -80، والآن ينقسم كل جزء خمسة: × ² = ناقص ستة عشر. إذا تربيع أي عدد وقيمة سالبة نحصل. على هذا جوابنا هو: في جذور المعادلة هناك.

التحلل ثلاثي الحدود

بواسطة المعادلات التربيعية مهمة قد تبدو بطريقة أخرى: لتتحلل ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية إلى العوامل. ويمكن القيام بذلك باستخدام الصيغة التالية: (س-س ₁₎ (س-س _2). لهذا، كما هو الحال في تجسيد إشارة أخرى، فمن الضروري إيجاد التمايز.

النظر في المثال التالي: 3X ² -14h-5، وتتحلل على ثلاثي الحدود mnozheteli. العثور على التمايز باستخدام الصيغة معروفة بالفعل، وجدت أن يكون 256. لاحظ الآن أن 256 هو أكبر من الصفر، وبالتالي، فإن المعادلة واثنين من الجذور. العثور عليها، كما هو الحال في الفقرة السابقة، لدينا: س = ناقص خمس وثلث. استخدام صيغة لثلاثي الحدود التحلل على mnozheteli 3 (س-5) (س + 1/3). في الشريحة الثانية لدينا علامة يساوي، لأن الصيغة هي علامة الطرح يستحق، والجذر، أيضا، هو سلبي، وذلك باستخدام المعرفة الأساسية للرياضيات، في القيمة لدينا علامة الجمع. لالبساطة، وضربنا الأولى وفترة ولاية ثالثة من المعادلة للتخلص من الكسور: (X-5) (س + 1).

المعادلات اختزالها إلى الساحة

في هذا القسم، ونحن نتعلم كيفية حل معادلات أكثر تعقيدا. نبدأ على الفور مع مثال على ذلك:

(× ² - 2X) ^2-2 (× ² - 2X) - 3 = 0. يمكن أن نلاحظ العناصر المتكررة: (× ² - 2X)، ومريحة لنا عن حلول ليحل محله مع متغير آخر، ومن ثم حل معادلة من الدرجة الثانية العادية، وعلى الفور نلاحظ أنه في هذه المهمة نحصل على أربعة الجذور، وأنه لا ينبغي أن يخيف لكم. متغير التكرار ودلالة. نحصل على ² 2A-3 = 0. خطوتنا التالية - هو إيجاد معادلة التمايز جديدة. نحصل على 16 نجد اثنين من الجذور: ناقص واحد وثلاثة. علينا أن نتذكر أن فعلنا استبدال، استبدل هذه القيم، ونتيجة لذلك، لدينا المعادلة: س ² - 2X = -1. س ² - 2X = 3. حلها في اول رد: x هو واحد، والثاني: x هو ناقص واحد وثلاثة. إرسال الإجابة على النحو التالي: زائد / ناقص واحد وثلاثة. عادة، يتم كتابة الجواب في ترتيب تصاعدي.

مكعب

دعونا ننظر خيار آخر. ولكن عن المعادلات التكعيبية. لديهم على شكل: الفأس ³ + ب س ² + CX + د = 0. أمثلة من المعادلات ونرى أيضا، ونبدأ مع قليلا من الناحية النظرية. قد يكون لديهم ثلاثة جذور، كما أن هناك صيغة لإيجاد التمايز من معادلة مكعب.

جرب هذا المثال: 3 + ³ 4 ² + 2 = 0. كيفية حلها؟ للقيام بذلك، ونحن فقط تأخذ بها بين قوسين س: س (3 + ² 4 + 2) = 0. كل ما علينا القيام به - هو لحساب جذور المعادلة في الأقواس. والتمايز للمعادلة من الدرجة الثانية في القوس هو أقل من الصفر، على هذا الأساس، لديها التعبير الجذر: س = 0.

الجبر. معادلة

انتقل إلى الأفق القادم. الآن نعتبر بإيجاز معادلة جبرية. واحدة من المهام على النحو التالي: طريقة تجمع انتشرت على mnozheteli 3 ⁴ 2 + ³ + 8 × ² + 2 + 5. الأسلوب الأكثر ملاءمة هو المجموعة التالية: (3 + ⁴ 3 ²⁾ + (2X ³ + 2) + (5 × ² 5). علما بأن 8 × ² من التعبير الأول قدمنا كمجموع 3 و ² 5X ^2. ونحن الآن إخراج كل من الأقواس 3 عامل مشترك ² (X2 + 1) 2 + (س ² +1) 5 ⁽² × +1). ونحن نرى أن لدينا عامل مشترك: مربع X زائد واحد، لجعله من بين قوسين: (1 × ²⁾ (3 ² + 2 + 5). مزيد من التحلل غير ممكن، لأن كلا من المعادلات لها التمايز السلبي.

معادلة متسامية

تقدم للتعامل مع نوع المقبل. هذه المعادلة، والتي تحتوي على وظائف المتعالية، وهي لوغاريتمي، المثلثية أو الأسي. أمثلة: 6sin ² × + TGX-1 = 0، س + 5lgx = 3 وهلم جرا. كيف يتم حل لها، وسوف تتعلم من علم المثلثات.

وظيفة

المرحلة النهائية من هذا المفهوم، وتعتبر وظيفة المعادلة. وعلى عكس الإصدارات السابقة، وهذا النوع لا يمكن حلها، ويستند الرسم البياني على ذلك. لهذه المعادلة تستحق لتحليل، للعثور على جميع النقاط اللازمة للبناء، وحساب الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط.