قاعدة كرامر وتطبيقه

قاعدة كرامر - هي واحدة من الطرق الدقيقة لحل نظم المعادلات الجبرية الخطية (سلوف). دقتها بسبب استخدام محددات مصفوفة النظام، فضلا عن بعض القيود المفروضة في إثبات نظرية.

نظام من المعادلات الجبرية الخطية ذات المعاملات تابعة ل، على سبيل المثال، عدد وافر من R - الأعداد الحقيقية من المجاهيل X1، X2، ...، XN هي عبارة عن مجموعة من التعبيرات

ai2 X1 + X2 + ai2 ... عين XN = ثنائية مع ط = 1، 2، ...، م، (1)

حيث تنفيذا مشتركا، ثنائية - الأعداد الحقيقية. كل من هذه التعبيرات يسمى معادلة خطية، AIJ - معاملات المجاهيل، ثنائية - معاملات مستقلة من المعادلات.

حل (1) المشار إليها ناقلات ن الأبعاد س ° = (X1 درجة، X2 °، ...، XN درجة)، الذي استبدال في النظام لX1 المجهولة، X2، ...، XN، كل بند من بنود في النظام يصبح أفضل المعادلة .

ويطلق على نظام ثابت إذا كان لديه حل واحد على الأقل، وغير متناسقة، وإذا كان يتزامن مع مجموعة من حل مجموعة فارغة.

ويجب أن نتذكر أنه من أجل إيجاد حلول لنظم المعادلات الخطية باستخدام طريقة كريمر، ونظم مصفوفة يجب أن تكون مربعة، وهو ما يعني في الأساس نفس العدد من المجاهيل والمعادلات في النظام.

لذلك، لاستخدام طريقة كريمر، يجب على الأقل معرفة ما هو مصفوفة نظام المعادلات الجبرية الخطية، وصدوره. وثانيا، لفهم ما يسمى المحدد للمصفوفة والمهارات الخاصة للحساب.

دعونا نفترض أن هذه المعرفة التي يمتلكها. رائع! ثم لديك لمجرد حفظ الصيغ تحديد طريقة كرامر. لتبسيط تحفيظ استخدام الرموز التالية:

• ديت - العامل الرئيسي الذي يحدد مصفوفة النظام؛

• deti - هو العامل المحدد للمصفوفة التي تم الحصول عليها من المصفوفة الأساسية للنظام عن طريق استبدال العمود ط عشر من المصفوفة إلى ناقلات العمود عناصره هي الجانبين الأيمن من المعادلات الجبرية الخطية.

• ن - عدد من العناصر المجهولة والمعادلات في النظام.

ثم كريمر حكم حساب ط عشر والحادي عشر العنصر (ط = 1، .. ن) ن الابعاد ناقلات x يمكن أن يكتب

الحادي عشر = deti / ديت، (2).

في هذه الحالة، ديت مختلفة تماما عن الصفر.

تفرد حل النظام عندما تقدم بالاشتراك مع حالة عدم المساواة من المحدد الرئيسي للنظام الى نقطة الصفر. خلاف ذلك، إذا كان مبلغ (الحادي عشر)، تربيع، إيجابية تماما، ثم سلاء لمصفوفة مربعة غير مجد. يمكن أن يحدث هذا بشكل خاص عند واحد على الأقل من غير صفرية deti.

مثال 1. لحل نظام LAU ثلاثي الأبعاد باستخدام صيغة كريمر.
2 X1 + X2 + X3 = 31 4،
5 X1 + X2 + X3 = 2 29،
3 X1 - X2 + X3 = 10.

القرار. نحن كتابة مصفوفة من الخط نظام سطرا، حيث منظمة العفو الدولية - هو الصف ط عشر من المصفوفة.
A1 = (1 2 4)، A2 = (5 1 2)، A3 = (3، -1، 1).
العمود معاملات حرة ب = (31 29 10).

النظام الرئيسي هو المحدد ديت
ديت = A11 A22 A33 + A12 A23 A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12-12 + 2-10 = -27.

لحساب التقليب det1 باستخدام A11 = B1، B2 A21 =، A31 = B3. ثم
det1 = B1 A22 A33 A12 A23 + B3 + B2 A31 A32 - A13 A22 B3 - B1 A32 A23 - A33 A12 B2 = ... = -81.

وبالمثل، لحساب det2 استخدام بدائل A12 = B1، B2 A22 =، A32 = B3، وبناء عليه، لحساب det3 - A13 = B1، B2 A23 =، A33 = B3.
ثم يمكنك التحقق من أن det2 = -108، وdet3 = - 135.
وفقا لصيغ كريمر تجد X1 = -81 / (- 27) = 3، X2 = -108 / (- 27) = 4، X3 = -135 / (- 27) = 5.

الجواب: س ° = (3،4،5).

الاعتماد على تطبيق هذه القاعدة، وطريقة كرامر نظم المعادلات الخطية حل يمكن استخدامها بشكل غير مباشر، على سبيل المثال، للتحقيق في النظام على عدد ممكن من الحلول اعتمادا على قيمة ك المعلمة.

مثال 2. لتحديد ما في قيم ك عدم المساواة المعلمة | KX - ص - 4 | + | س + كنتاكي + 4 | <= 0 ديه حل واحد بالضبط.

القرار.
هذا التفاوت، من خلال تعريف وظيفة وحدة يمكن القيام بها إلا إذا كان كل التعابير هي صفر في وقت واحد. لذلك، يتم تقليل هذه المشكلة لإيجاد حل المعادلات الجبرية الخطية

KX - ص = 4،
س + كنتاكي = -4.

الحل لهذا النظام إلا إذا كان هذا هو المحدد الرئيسي لل
ديت = ك ^ {2} + 1 غير صفرية. ومن الواضح أن هذا الشرط غير راض عن جميع القيم الحقيقية للك المعلمة.

الجواب: لجميع القيم الحقيقية للك المعلمة.

ويمكن أيضا أن أهداف هذا النوع يتم تخفيض العديد من المشاكل العملية في مجال الرياضيات، الفيزياء أو الكيمياء.