معادلة الطائرة: كيف لجعل؟ أنواع المعادلات الطائرة

يمكن تعريف الفضاء الطائرة بطرق مختلفة (نقطة واحدة وناقلات، ناقلات ونقطتين وثلاث نقاط، وما إلى ذلك). ومن هذا المنطلق، يمكن للمعادلة الطائرة لديها أنواع مختلفة. أيضا في ظل ظروف معينة قد تكون طائرة موازاة ذلك، عمودي، المتقاطعة، الخ حول هذا الموضوع وسوف نتحدث في هذه المقالة. وسوف تتعلم لجعل المعادلة العامة من الطائرة وليس فقط.

النموذج العادي من المعادلة

لنفترض R هو مساحة _3، التي لديها مستطيل تنسيق نظام XYZ. نحدد متجه α، الذي سيصدر من نقطة البداية O. خلال نهاية α ناقلات رسم طائرة P وهو عمودي على ذلك.

دلالة P في لالتعسفي النقطة Q = (س، ص، ض). ناقلات نصف قطرها من نقطة Q إلكتروني علامة ص. طول الموجه يساوي α = ص IαI وƲ = (cosα، cosβ، cosγ).

هذا متجه الوحدة، الذي يوجه في الاتجاه كما α النواقل. α، β γ و- والزوايا التي تتشكل بين ناقلات والاتجاهات الإيجابية Ʋ محاور الفضاء س، ص، ض على التوالي. إسقاط نقطة على ناقلات QεP Ʋ هو ثابت والتي تساوي ص (ص، Ʋ) = ص (r≥0).

المعادلة المذكورة أعلاه هي ذات مغزى عندما ص = 0. الطائرة ن الوحيدة في هذه الحالة، فإن عبور O نقطة (α = 0)، والتي هي الأصل، ووحدة ناقلات Ʋ، الذي صدر من O نقطة سيكون عمودي على P، على الرغم من اتجاهه، مما يعني أن Ʋ ناقلات تحديد ما يصل الى علامة. المعادلة السابقة هي طائرتنا P، المعبر عنها في شكل النواقل. ولكن في ضوء إحداثياتها هي:

P أكبر من أو تساوي 0. لقد وجدنا المعادلة الطائرة في شكل طبيعي.

المعادلة العامة

إذا المعادلة في الإحداثيات تتكاثر عن طريق أي رقم لا يساوي الصفر، ونحن الحصول على ما يعادل المعادلة إلى ذلك أن يحدد الطائرة ذاتها. وسوف يكون على الشكل التالي:

هنا، A، B، C - هو عدد واحد يختلف عن الصفر. وتسمى هذه المعادلة معادلة الشكل العام للطائرة.

معادلات الطائرات. حالات خاصة

المعادلة عموما يمكن تعديلها مع شروط إضافية. النظر في بعض منها.

نفترض أن معامل A هو 0. هذا يدل على أن بالتوازي الطائرة إلى الثور محور محدد سلفا. في هذه الحالة، على شكل المعادلة يتغير: وو + تشيكوسلوفاكيا + D = 0.

وبالمثل، فإن شكل المعادلة، وتختلف مع الشروط التالية:

• أولا، إذا B = 0، يتغير المعادلة فأس + تشيكوسلوفاكيا + D = 0، والذي من شأنه أن يشير التوازي على محور أوي.
• ثانيا، إذا C = 0، يتم تحويل المعادلة إلى فأس + بواسطة + D = 0، وهذا هو القول عن موازية لمحور محدد سلفا عوز.
• ثالثا، إذا D = 0، ستظهر المعادلة كما فأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا = 0، وهو ما يعني أن الطائرة يتقاطع O (الأصل).
• رابعا، إذا A = B = 0، يتغير المعادلة إلى تشيكوسلوفاكيا + D = 0، والذي سيثبت التوازي أوكسي.
• خامسا، إذا B = C = 0، المعادلة تصبح فأس + D = 0، مما يعني أن الطائرة هي موازية لOyz.
• سادسا، إذا A = C = 0، تأخذ المعادلة الشكل وو + D = 0، أي، سوف يقدم تقريرا إلى Oxz التوازي.

شكل المعادلة في قطاعات

في الحالة التي يكون فيها أرقام A، B، C، D مختلفة من الصفر، شكل المعادلة (0) قد تكون على النحو التالي:

س / أ + ص / ب + ض / ج = 1،

حيث ل= -D / A، ب = -D / B، ج = -D / C.

نحن نتلقى كما معادلة النتيجة من الطائرة في قطعة. وتجدر الإشارة إلى أن هذه الطائرة سوف تتقاطع محور س عند نقطة مع الإحداثيات (أ، 0،0)، أوي - (0، ب، 0)، وعوز - (0،0، ق).

وبالنظر إلى المعادلة س / أ + ص / ب + ض / ج = 1، فإنه ليس من الصعب تصور قريب الطائرة موضع إلى نظام محدد سلفا تنسيق.

إحداثيات ناقلات الطبيعي

متجه ن الطبيعي أن الطائرة P ديه الإحداثيات التي هي معاملات المعادلة العامة من الطائرة، أي ن (A، B، C).

من أجل تحديد إحداثيات ن العادي، فإنه يكفي أن تعرف المعادلة العامة نظرا الطائرة.

عند استخدام المعادلة في القطاعات التي لها شكل س / أ + ص / ب + ض / ج = 1، وعند استخدام المعادلة العامة يمكن إحداثيات أي متجه العادي مكتوبة طائرة معينة: (1 / أ + 1 / ب + 1 / ج).

وتجدر الإشارة إلى أن ناقلات الطبيعي للمساعدة في حل المشاكل المختلفة. وتتكون من أكثر المشاكل شيوعا في طائرات عمودية أو متوازية واقية، ومهمة العثور على الزوايا بين الطائرات أو الزوايا بين الطائرات وخطوط مستقيمة.

اكتب وفقا للمعادلة الطائرة وإحداثيات ناقلات العادي نقطة

A ن صفرية ناقلات، عمودي على طائرة معينة، تسمى طبيعي (عادي) إلى مستوى محدد سلفا.

لنفترض أنه في تنسيق الفضاء (مستطيل نظام تنسيق) Oxyz تحديد:

• نقطة Mₒ مع الإحداثيات (hₒ، uₒ، zₒ)؛
• صفر ناقلات ن = A * I + B * ي + C * ك.

تحتاج إلى إجراء معادلة الطائرة الذي يمر عبر نقطة Mₒ عمودي على ن العادي.

في الفضاء نختار أي نقطة التعسفية ودلالة M (س، ص، ض). السماح للناقلات نصف قطرها من كل M نقطة (س، ص، ض) سوف تكون ص = س * ط + Y * ي + Z * ك، وناقلات نصف قطر Mₒ نقطة (hₒ، uₒ، zₒ) - rₒ = hₒ * I + uₒ * ي + zₒ * ك. والنقطة M تنتمي إلى مستوى معين، إذا كان MₒM ناقلات يكون عموديا على متجه ن. نكتب شرط التعامد استخدام المنتج العددية:

[MₒM، ن] = 0.

منذ MₒM = R-rₒ، فإن المعادلة متجه من الطائرة تبدو هذه:

[R - rₒ، ن] = 0.

هذه المعادلة يمكن أيضا أن يكون شكل آخر. لهذا الغرض، وخصائص المنتج العددية، وتحويل الجانب الأيسر من المعادلة. [R - rₒ، ن] = [ص، ن] - [rₒ، ن]. إذا [rₒ، ن] تدل كما ق، نحصل على المعادلة التالية: [ص، ن] - و= 0 أو [ص، ن] = ق، والذي يعبر عن ثبات التوقعات على ناقلات الطبيعي للدائرة نصف قطرها ناقلات للنقاط معينة التي تنتمي الطائرة.

الآن يمكنك الحصول على تنسيق تسجيل نوع الطائرة لدينا ناقلات المعادلة [ص - rₒ، ن] = 0. منذ ص-rₒ = (س hₒ) * ط + (ص uₒ) * ي + (ض zₒ) * ك، و ن = A * I + B * ي + C * ك، لدينا:

وتبين أن لدينا تشكيل المعادلة طائرة تمر عبر نقطة عمودي على ن العادي:

A * (خ hₒ) + B * (ذ uₒ) S * (ض zₒ) = 0.

اكتب وفقا للمعادلة الطائرة وإحداثيات نقطتين من خط واحد طائرة متجه

نحدد نقطتين التعسفية M "(خ، ذ، ض ') وM" (خ "، ذ"، ض ")، فضلا عن ناقلات (أ'، وهو"، وهو ‴).

الآن يمكن أن نكتب المعادلة محددة سلفا الطائرة الذي يمر عبر نقطة M الحاليين وM "، ولكل نقطة مع M الإحداثيات (س، ص، ض) بالتوازي مع ناقل معين.

وهكذا ناقلات M'M س = {س '، ص-ص'؛ ZZ '} وM "M = {س" -x "، ذ' ذ '؛ ض" -z'} يجب أن يكون متحد المستوى مع ناقل و= (أ '، وهو "، وهو ‴)، مما يعني أن (M'M M" M، أ) = 0.

لذلك لدينا معادلة طائرة في الفضاء سيبدو هذا:

نوع من المعادلة الطائرة، عبور ثلاث نقاط

دعونا نقول لدينا ثلاث نقاط: (س '، ذ، ض')، (خ، ذ، ض ')، (خ ‴ عندك ‴، ض ‴)، التي لا تنتمي إلى نفس الخط. ومن الضروري أن أكتب معادلة طائرة تمر عبر ثلاث نقاط محددة. وتقول نظرية الهندسة أن هذا النوع من الطائرة موجود، انها مجرد واحدة فقط. منذ هذه الطائرة يتقاطع النقطة (س، ص، ض ')، شكل المعادلة من شأنه أن يكون:

هنا، A، B، C وتختلف عن الصفر في نفس الوقت. أيضا طائرة نظرا يتقاطع نقطتين المزيد (س "، ذ"، ض ") و (س ‴، ذ ‴، ض ‴). وفي هذا الصدد ينبغي أن يتم هذا النوع من الشروط:

الآن يمكننا خلق نظام موحد للمعادلات (خطي) مع المجهولة ش، ت، ث:

في حالتنا س، ص ض أو يقف نقطة التعسفي الذي يرضي المعادلة (1). وبالنظر إلى المعادلة (1) ونظام المعادلات (2) و (3) نظام المعادلات هو مبين في الشكل أعلاه، وناقلات يرضي N (A، B، C) والذي هو غير بديهي. فذلك لأن محددا من هذا النظام هو صفر.

المعادلة (1) أن لدينا، وهذا هو معادلة الطائرة. 3 نقطة تذهب حقا، وانها سهلة للتحقق. للقيام بذلك، ونوسع المحدد من قبل عناصر في الصف الأول. من الخصائص الموجودة المحدد يترتب على ذلك أن طائرتنا يتقاطع في وقت واحد ثلاث نقاط محددة سلفا في الأصل (س '، ذ، ض')، (خ "، ذ"، ض ")، (خ ‴، ذ ‴، ض ‴). لذلك قررنا أن يكلف أمامنا.

زاوية ثنائي السطح بين الطائرات

زاوية ثنائي السطح هو شكل هندسي المكانية التي شكلتها طائرتين نصف التي تنطلق من خط مستقيم. وبعبارة أخرى، وهي جزء من الفضاء الذي يقتصر على نصف طائرات.

لنفترض أن لدينا اثنين من الطائرة مع المعادلات التالية:

ونحن نعلم أن ناقلات N = (A، B، C) وN¹ = (à¹، H¹، S¹) وفقا لطائرات محددة سلفا تكون عمودية. وفي هذا الصدد، زاوية φ بين ناقلات N وN¹ متساوية زاوية (ثنائي السطح)، والذي يقع بين هذه الطائرات. يعطى المنتج العددية من قبل:

NN¹ = | N || N¹ | كوس φ،

على وجه التحديد ل

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (² + ق ² + V²)) * (√ (à¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

ويكفي أن نعتبر أن 0≤φ≤π.

في الواقع طائرتين أن تتقاطع، شكل اثنين من زاوية (ثنائي السطح): φ ₁ و _{2 φ.} مجموعهما يساوي π (φ ₁ + ₂ = φ π). أما بالنسبة لجيب التمام، والقيم المطلقة على قدم المساواة، لكنها إشارات مختلفة، وهذا هو، كوس φ ₁ = -cos φ _2. إذا (0) يتم استبداله في المعادلة التي كتبها A، B و C من -A، -B و-C على التوالي، المعادلة، نحصل، ستحدد نفس الطائرة، وزاوية الوحيدة φ في كوس المعادلة φ = NN ¹ / | N || N ¹ | سيتم استبداله π-φ.

معادلة طائرة عمودية

دعا عمودي طائرة، بين فيه زاوية 90 درجة. باستخدام المواد المعروضة أعلاه، يمكن أن نجد معادلة طائرة عمودية إلى أخرى. لنفترض لدينا طائرتين: فأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + D = 0، و+ A¹h V¹u S¹z + + D = 0. نستطيع أن نقول أنهم متعامد إذا كوس = 0. وهذا يعني أن NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

معادلة طائرة موازية

وأشارت إلى طائرتين موازية التي لا تحتوي على نقاط مشتركة.

حالة من طائرات موازية (المعادلات التي هي نفسها كما في الفقرة السابقة) هي أن ناقلات N وN¹، والتي هي عمودي لهم، على خط واحد. وهذا يعني أن الشروط التالية يتم استيفاء التناسب:

A / ๠= B / C = H¹ / S¹.

إذا يتم توسيع شروط نسبية - A / ๠= B / C = H¹ / S¹ = DD¹،

هذا يشير إلى أن الطائرة البيانات للنفس. وهذا يعني أن المعادلة فأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + D = 0 و + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 وصف طائرة واحدة.

المسافة من نقطة إلى الطائرة

لنفترض أن لدينا P الطائرة، التي تعطى من قبل (0). فمن الضروري إيجاد المسافة من نقطة مع الإحداثيات (hₒ، uₒ، zₒ) = Qₒ. ، تحتاج إلى تحقيق المعادلة في الطائرة II مظهر طبيعي لجعله:

(Ρ، والخامس) = ص (r≥0).

في هذه الحالة، ρ (س، ص، ض) هو متجه نصف قطرها دينا Q نقطة، وتقع على ن ع - ن هو طول عمودي، والذي صدر من نقطة الصفر، والخامس - هو متجه الوحدة، التي رتبت في الاتجاه أ.

الفرق-ρ ρº ناقلات نصف قطر Q نقطة = (س، ص، ض)، الذين ينتمون إلى n وناقلات نصف قطرها من نقطة معينة Q ₀ = (hₒ، uₒ، zₒ) هو مثل ناقلات، والقيمة المطلقة لإسقاط منها على ضد يساوي المسافة د، وهو أمر ضروري لإيجاد من Q = ₀ (hₒ، uₒ، zₒ) لP:

D = | (ρ ^{ρ-0، والخامس)} |، ولكن

(ρ ^{ρ-0، والخامس)} = (ρ، والخامس ) - (ρ ^{0، والخامس)} = ص (ρ ^{0، والخامس).}

لذلك تبين،

د = | (ρ ^{0، والخامس)} ص |.

الآن فمن الواضح أن لحساب المسافة د من ₀ إلى Q طائرة P، فمن الضروري استخدام العادية المعادلة عرض الطائرة، والتحول إلى اليسار من ص، والمكان الأخير من س، ص، ض بديل (hₒ، uₒ، zₒ).

وهكذا، نجد أن القيمة المطلقة لينتج عن ذلك من التعبير ما هو مطلوب د.

باستخدام المعلمات اللغة، وحصلنا على ما هو واضح:

د = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (² + V² + ق ²).

إذا كانت نقطة Q محدد ₀ على الجانب الآخر من P الطائرة حيث الأصل، ثم بين ناقلات ρ ^ρ-0 والخامس هو زاوية منفرجة، على النحو التالي:

د = - (ρ ^{ρ-0، والخامس)} = (ρ ^{0، والخامس)} -p> 0.

في الحالات التي يكون فيها Q ₀ نقطة بالتزامن مع الأصل يقع على نفس الجانب من U، يتم إنشاء زاوية حادة، وهذا هو:

د = (ρ ^{ρ-0، والخامس)} = ص - (ρ ^{0، والخامس)>} 0.

والنتيجة هي أنه في الحالة الأولى (ρ ^{0، والخامس)>} ص، في الثانية (ρ ^{0، والخامس)} <ص.

وفي المعادلة طائرة الظل

وفيما يتعلق الطائرة إلى السطح عند نقطة تماس Mº - طائرة تحتوي على كل الظل الممكن أن منحنى رسمها من خلال هذه النقطة على السطح.

مع هذا النموذج سطح المعادلة F (س، ص، ض) = 0 في معادلة Mº نقطة المماس الطائرة الظل (hº، uº، zº) ستكون كما يلي:

F _س (hº، uº، zº) (hº خ) + F _س (hº، uº، zº) (uº ذ) + F _س (hº، uº، zº) (ض zº) = 0.

إذا تم تعيين سطح ض صراحة = و (س، ص)، ثم الطائرة الظل يوصف بالمعادلة:

ض zº = و (hº، uº) (hº خ) + و (hº، uº) (ص uº).

تقاطع طائرتين

في الفضاء ثلاثي الأبعاد هو نظام الإحداثيات (مستطيلة) Oxyz، نظرا طائرتين P "وP" التي تتداخل ولا تتطابق. لأن أي طائرة، والتي هي في مستطيل نظام الإحداثيات التي حددتها المعادلة العامة، فإننا نفترض أن ن 'و n "تم تعريفها من قبل المعادلات A'x + V'u S'z + + D' = 0 و A" + B س '+ ذ مع "ض + D" = 0. في هذه الحالة لدينا ن العادي "(A، B، C ') من P الطائرة ون العادي" (A "، B"، C ") للطائرة P. كما طائرتنا ليست موازية ولا تتطابق، ثم هذه النواقل لا تربطها علاقة خطية متداخلة. باستخدام لغة الرياضيات، لدينا هذا الشرط يمكن أن تكون مكتوبة على النحو التالي: ن '≠ ن "↔ (A، B، C') ≠ (λ * و"، λ * في "، λ * C")، λεR. اسمحوا الخط المستقيم الذي يقع عند تقاطع P "وP"، سيتم تدل بالحرف لذلك، في هذه الحالة = P '∩ P ".

و- خط تتكون من عدد وافر من النقاط الطائرات (مشتركة) P "وP". وهذا يعني أن إحداثيات أي نقطة تابعة للخط لذلك، يجب أن ترضي في الوقت نفسه المعادلة A'x + V'u S'z + + D '= 0 و A "س + B' + C ذ" ض + D "= 0. وهذا يعني أن إحداثيات نقطة سيكون حل معين من المعادلات التالية:

والنتيجة هي أن الحل (عموما) من هذا النظام المعادلات سيحدد إحداثيات كل نقطة على الخط الذي سيكون بمثابة نقطة تقاطع P "وP"، وتحديد خط في نظام إحداثيات Oxyz (مستطيل) الفضاء.