تشكيلعلم

مجموع زوايا المثلث. نظرية على مجموع زوايا المثلث

المثلث هو مضلع وجود ثلاث جهات (ثلاث زوايا). في معظم الأحيان، والجزء تدل بواسطة الحروف الصغيرة حروف وأرقام، والتي تمثل القمم المعاكس المقابلة. في هذه المادة ونحن نلقي نظرة على هذه الأنواع من الأشكال الهندسية، نظرية، والذي يحدد ما يساوي مجموع زوايا المثلث.

أنواع أكبر الزوايا

الأنواع التالية من مضلع مع القمم الثلاث:

  • حاد الزاويه، التي في كل زوايا حادة.
  • مستطيل وجود زاوية واحدة، وعلى الجانب تشكيلها، وأشار إلى الساقين، والجانب الذي يتم التخلص مقابل الزاوية اليمنى يسمى الوتر.
  • منفرجة عند واحد زاوية منفرجة .
  • متساوي الساقين، الذي الجانبين على قدم المساواة، ويطلق عليهم الوحشي، والثالث - مثلث مع قاعدة.
  • وجود متساوي الأضلاع الثلاثة أضلاع متساوية.

خصائص

تخصيص الخصائص الأساسية التي تميز كل نوع من المثلث:

  • مقابل الجانب الأكبر هو أكبر دائما زاوية، والعكس بالعكس؛
  • هي زوايا متساوية مقابل المساواة أكبر حزب، والعكس بالعكس؛
  • في أي مثلث اثنين من الزوايا الحادة.
  • زاوية الخارجي أكبر من أي زاوية داخلية غير المجاورة لها.
  • مجموع أي زاويتين هو دائما أقل من 180 درجة؛
  • الزاوية الخارجية يساوي مجموع اثنين من زوايا أخرى، والتي لا mezhuyut معه.

نظرية على مجموع زوايا المثلث

تنص نظرية أنه إذا كنت تضيف ما يصل كل زوايا الشكل الهندسي، والذي يقع في الطائرة الإقليدية، ثم سوف يكون مجموعهما 180 درجة. دعونا نحاول إثبات هذه النظرية.

السماح لدينا مثلث التعسفي مع القمم KMN. عبر الجزء العلوي من M سيعقد مواز مباشرة إلى خط KN (ويسمى هذا الخط حتى اقليدس). وتجدر الإشارة إلى النقطة (أ) بحيث يتم ترتيب النقاط K و A من جوانب مختلفة من الخط MN. نحصل على نفس زاوية AMS وMUF، والتي، مثل الداخلية والكذب بالعرض لتشكيل المتقاطعة MN بالتزامن مع CN المباشر وMA، هي موازية. ويستنتج من ذلك أن مجموع زوايا المثلث، وتقع في القمم M و N يساوي حجم زاوية CMA. تتكون جميع الزوايا الثلاثة مبلغ يساوي مجموع زوايا KMA وMCS. لأن البيانات هي الزوايا الداخلية النسبية خطوط متوازية من جانب CL وCM MA في المتقاطعة، مجموعهما 180 درجة. وهذا يثبت نظرية.

نتيجة

ما سبق نظرية أعلاه يعني أن النتيجة الطبيعية التالية: كل مثلث اثنين من الزوايا الحادة. لإثبات هذا، دعونا نفترض أن هذا شكل هندسي واحد فقط زاوية حادة. يمكنك أيضا افتراض أن أيا من زوايا ليست حادة. في هذه الحالة يجب أن يكون اثنين على الأقل من الزوايا، وحجم والتي تساوي أو تزيد عن 90 درجة. ولكن بعد ذلك مجموع زوايا أكبر من 180 درجة. ولكن هذا لا يمكن أن يكون، وفقا لزوايا نظرية مجموع مثلث تساوي 180 ° - لا أكثر ولا أقل. هذا ما كان لا بد من ثبت.

الزوايا الخارجية الملكية

ما هو مجموع زوايا المثلث، والتي هي خارجي؟ الجواب على هذا السؤال يمكن الحصول على تطبيق واحدة من طريقتين. الأول هو أن تحتاج إلى العثور على مجموع الزوايا، التي تتخذ واحدة في كل قمة، أي ثلاث زوايا. والثاني يعني أنك بحاجة إلى العثور على مجموع الزوايا ستة في القمم. للتعامل مع بداية تجسيد الأول. وهكذا، فإن مثلث يحتوي على ستة الزوايا الخارجية - في الجزء العلوي من كل من البلدين. كل زوج لديه زوايا متساوية فيما بينها، لأنها الرأسي:

∟1 = ∟4، ∟2 = ∟5، ∟3 = ∟6.

وبالإضافة إلى ذلك، فمن المعروف أن الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الداخلية اللذين لا mezhuyutsya معه. لذلك،

∟1 = ∟A + ∟S، ∟2 = ∟A + ∟V، ∟3 = ∟V + ∟S.

من هذا يتبين أن مجموع الزوايا الخارجية، التي تتخذ واحدا تلو الآخر قرب كل قمة سيكون مساويا إلى:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 × (∟A + ∟V ∟S +).

وبالنظر إلى أن مجموع زوايا يساوي 180 درجة، يمكن القول أن ∟A + ∟V ∟S = + 180 درجة. وهذا يعني أن ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 × 180 درجة = 360 درجة. إذا تم استخدام الخيار الثاني، فإن مجموع زوايا ستة يكون أكبر تبعا لمرتين. أي مجموع زوايا المثلث خارج على النحو التالي:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 × (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 درجة.

مثلث قائم الزاوية

ما يساوي مجموع زوايا مثلث قائم الزاوية، هو الجزيرة؟ والجواب هو، مرة أخرى، من نظرية، التي تنص على أن زوايا المثلث تضيف ما يصل الى 180 درجة. صوت لدينا تأكيدات (الملكية) على النحو التالي: في مثلث قائم الزاوية زوايا حادة تضيف ما يصل الى 90 درجة. نثبت صحتها. يجب ألا يكون هناك مثلث نظرا KMN، التي ∟N = 90 درجة. فمن الضروري أن يثبت أن ∟K ∟M = + 90 درجة.

وبالتالي، وفقا لنظرية على مجموع الزوايا ∟K + ∟M ∟N + = 180 درجة. في هذه الحالة يقال أن ∟N = 90 درجة. اتضح ∟K ∟M + + 90 درجة = 180 درجة. وهذا هو ∟K ∟M + = 180 درجة - 90 درجة = 90 درجة. وهذا ما يجب علينا أن نثبت.

وبالإضافة إلى الخصائص المذكورة أعلاه من مثلث قائم الزاوية، يمكنك إضافة التالية:

  • الزوايا، التي تقع ضد الساقين تكون حادة.
  • الوتر من الثلاثي أكبر من أي من الساقين.
  • مجموع الساقين أكثر من وتر.
  • ساق المثلث، والتي تقع مقابل زاوية 30 درجة، نصف الوتر، وهذا هو مساو لنصف بها.

كعقار آخر من شكل هندسي ويمكن التمييز بين نظرية فيثاغورس. وتقول إنه في مثلث بزاوية 90 درجة (مستطيل)، ومجموع المربعات في الساقين يساوي مربع الوتر.

مجموع زوايا مثلث متساوي الساقين

قال في وقت سابق لنا أن مثلث متساوي الساقين هو مضلع مع القمم الثلاث، التي تحتوي على الجانبين متساوية. هذا العقار هو معروف شكل هندسي: الزوايا عند قاعدته مساوية. دعونا اثبات ذلك.

خذ مثلث KMN، وهو متساوي الساقين، SC - قاعدته. نحن المطلوبة لإثبات أن ∟K = ∟N. لذا، دعونا نفترض أن MA - KMN غير منصف مثلث دينا. ICA مثلث مع أول علامة المساواة هو مثلث MNA. وهي، من خلال فرضية بالنظر إلى أن CM = NM، MA هو الجانبية شيوعا، ∟1 = ∟2، لأن MA - وهذا منصف. عن طريق المساواة بين المثلثين، يمكن للمرء أن يجادل بأن ∟K = ∟N. وبالتالي، يثبت نظرية.

لكننا مهتمون، ما هو مجموع زوايا المثلث (متساوي الساقين). لأنه في هذا الصدد أنه ليس لديه معالمه، وسنبدأ من نظرية نوقشت سابقا. وهذا هو، يمكننا أن نقول أن ∟K + ∟M ∟N + = 180 درجة، أو 2 × ∟K ∟M + = 180 درجة (كما ∟K = ∟N). هذا لن إثبات الملكية، كما أثبتت نظرية على مجموع زوايا المثلث في وقت سابق.

باستثناء خصائص تعتبر من زوايا المثلث، وهناك أيضا مثل هذه التصريحات الهامة:

  • في وارتفاع مثلث متساوي الأضلاع، التي كانت قد خفضت إلى القاعدة، هو في الوقت نفسه منصف وسيطة من زاوية الذي هو بين الجانبين على قدم المساواة و محور التناظر من قاعدته.
  • متوسط (منصف والارتفاع)، والتي تقام على الجانبين من شكل هندسي، على قدم المساواة.

مثلث متساوي الساقين

ويسمى أيضا الحق، هو المثلث، والتي هي على قدم المساواة لجميع الأطراف. وبالتالي أيضا متساوية والزوايا. كل واحد منهم هو 60 درجة. دعونا نثبت هذا العقار.

لنفترض أن لدينا مثلث KMN. ونحن نعلم أن KM = HM = KH. وهذا يعني أنه وفقا لممتلكات الزوايا الموجودة في قاعدة في مثلث متساوي الأضلاع ∟K = = ∟M ∟N. منذ ذلك الحين، وفقا لمجموع زوايا المثلث نظرية ∟K + ∟M ∟N + = 180 درجة مئوية، ثم × 3 = 180 درجة ∟K أو ∟K = 60 درجة، ∟M = 60 درجة، ∟N = 60 درجة. وهكذا، يثبت التأكيد. كما يتضح من الأدلة أعلاه على أساس نظرية المذكورة أعلاه، فإن مجموع زوايا من مثلث متساوي الأضلاع، كما مجموع زوايا المثلث الآخر هو 180 درجة. تثبت مرة أخرى هذا نظرية ليست ضرورية.

لا تزال هناك بعض الخصائص المميزة للمثلث متساوي الأضلاع:

  • يتم احتساب متوسط ارتفاع منصف في شكل هندسي متطابقة، وطولها كما (أ س √3): 2؛
  • إذا كان هذا المضلع تحصر الدائرة، ثم في دائرة نصف قطرها سيكون مساويا ل(أ س √3): 3؛
  • إذا المدرج في دائرة مثلث متساوي الأضلاع، فإن نصف قطرها يكون (أ س √3): 6؛
  • يتم احتساب مساحة الشكل الهندسي بواسطة الصيغة التالية: (A2 العاشر √3): 4.

مثلث منفرج الزاوية

بحكم التعريف، مثلث منفرج الزاويه، واحد من أركانها هو ما بين 90 إلى 180 درجة. ولكن نظرا لحقيقة أن اثنين من زوايا أخرى من شكل هندسي حاد، فإنه يمكن استنتاج أن لا تتجاوز 90 درجة. ولذلك، فإن مجموع زوايا المثلث نظرية يعمل في حساب مجموع الزوايا في مثلث منفرج. لذا، يمكن القول، استنادا إلى نظرية أعلاه أن مجموع زوايا منفرجة مثلث هو 180 درجة. مرة أخرى، لا تحتاج هذه نظرية لإعادة إثبات.

Similar articles

 

 

 

 

Trending Now

 

 

 

 

Newest

Copyright © 2018 ar.atomiyme.com. Theme powered by WordPress.