كيفية حساب مساحة هرم: القاعدة، والجانب كامل؟

استعدادا للامتحان في الرياضيات الطلاب لديهم لتنظيم المعرفة من الجبر والهندسة. أود أن تجمع كل المعلومات المعروفة، مثل كيفية حساب مساحة الهرم. وعلاوة على ذلك، بدءا من القاع والجانب تواجه حتى المساحة كلها. إذا يواجه الجانب الوضع واضح، لأنها مثلثات، وقاعدة مختلفة دائما.

كيف تكون عند منطقة قاعدة الهرم؟

ويمكن أن يكون تماما أي شخصية من مثلث التعسفي لغون ن. وهذه القاعدة، إلا أن الفرق في عدد من الزوايا، قد يكون الرقم الصحيح أو غير صحيحة. لمصلحة من مهام الطلاب في الامتحان وجدت وظيفة فقط مع الأرقام الصحيحة في القاعدة. ولذلك، فإننا سوف نتحدث فقط عن الطرف الآخر.

مثلث متساوي الساقين

وهذا هو متساوي الأضلاع. واحدة من جميع الأطراف على قدم المساواة، ويعينها على الحرف "a". في هذه الحالة، يتم حساب مساحة قاعدة الهرم بواسطة الصيغة التالية:

S = (أ * √3 ²⁾ / 4.

مربع

الصيغة لحساب مساحتها أبسط، هي "أ" - الجانب هو مرة أخرى:

وS = ^2.

غون ن منتظم التعسفي

على جانبي المضلع نفس التسمية. لعدد من الزوايا المستخدمة اللاتينية إلكتروني ن.

S = (ن * ²⁾ / (4 * TG (180º / ن)) .

كيفية إدخال في حساب مساحة السطح الجانبي والكامل؟

منذ الرقم الأساسي هو الصحيح، ثم كل وجوه الهرم على قدم المساواة. كل واحدة منها هو مثلث متساوي الساقين، منذ الحواف الجانبية على قدم المساواة. ثم، من أجل حساب مساحة جانب من الهرم تحتاج صيغة تتألف من مجموع monomials متطابقة. يتم تحديد عدد من الشروط من قبل كمية من الجانبين قاعدة.

يتم احتساب مساحة مثلث متساوي الساقين بواسطة الصيغة التي يتم ضرب نصف المنتج الأساسي من الارتفاع. هذا الارتفاع في الهرم تسمى apothem. تسميته - "A". الصيغة العامة للمساحة السطح الجانبي كما يلي:

S = ½ P * A، حيث P - محيط قاعدة الهرم.

هناك أوقات عندما لا يعرف إلى جانب قاعدة، ولكن الحواف الجانبية و(أ) شقة وزاوية في قمة (α). ثم أنها تعتمد استخدام الصيغة التالية لحساب مساحة الجانبية للهرم:

S = ن / ^2-2 * α الخطيئة.

№ مهمة 1

الشرط. العثور على المساحة الكلية للهرم، إذا قاعدتها مثلث متساوي الأضلاع مع جانب من 4 سم ولها قيمة √3 apothem سم.

القرار. يجب أن تبدأ مع حساب محيط القاعدة. لأن هذا هو مثلث منتظم، ثم P = 3 * 4 = 12 سم apothem وكما هو معروف، يمكن للمرء حساب فورا مساحة السطح الجانبي كله :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^CM2.

للحصول على مثلث القاعدة هي قيمة المنطقة (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^CM2.

لتحديد المنطقة بأكملها تحتاج إلى أضعاف اثنين القيم الناتجة: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^CM2.

الجواب. 10√3 ^CM2.

مشكلة № 2

الشرط. هناك رباعي الزوايا هرم منتظم. ويبلغ طول قاعدة يساوي 7 ملم، والحافة الجانبية - 16 ملم. عليك أن تعرف منطقة سطحه.

القرار. منذ متعدد الوجوه - مستطيلة وصحيحة، عند قاعدته هو مربع. سماع منطقة قاعدة وجوانب الجانبية تكون قادرة على الاعتماد على هرم مربع. وبالنظر إلى صيغة لمربع أعلاه. وأنا أعرف كل الوجوه أضلاع مثلث. لذلك، يمكنك استخدام صيغة هيرون لحساب مناطقهم.

حسابات الأولى بسيطة وتؤدي إلى هذا الرقم: 49 مم ^2. لحساب القيمة الثانية تحتاج نصف محيط: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 مم. الآن يمكننا حساب مساحة مثلث متساوي الساقين: √ (19،5 * (19،5-7) * (19،5-16) ²⁾ = √2985،9375 = 54644 مم ^2. هناك أربعة مثلثات، وذلك عند احتساب الأرقام النهائية سوف تحتاج إلى أن تكون مضروبة 4.

التي حصل عليها: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 ^MM2.

الجواب. 267،576 القيمة المطلوبة من ² ملم.

№ مهمة 3

الشرط. في هرم رباعي الزوايا منتظمة أمر ضروري لحساب المنطقة. ومن المعروف جانب مربع - 6 سم والارتفاع - 4 سم.

القرار. أسهل طريقة لاستخدام صيغة لنتاج محيط وapothem. تم العثور على القيمة الأولى ببساطة. أصعب ثاني قليلا.

علينا أن نتذكر نظرية فيثاغورس والنظر في مثلث قائم الزاوية. ويتكون من ذروة الهرم وapothem، وهو الوتر. المحطة الثانية هي نصف ضلع المربع، كما يقع على ارتفاع متعدد الوجوه في وسطها.

apothem يفضل (وتر المثلث الأيمن) يساوي √ (3 + ² 4 ²⁾ = 5 (سم).

الآن فمن الممكن لحساب القيمة المطلوبة: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (سم ^2).

الجواب. 96 سم ^2.

مشكلة № 4

الشرط. دانا الهرم السداسي المنتظم. جانبي قاعدته مساوية ل22 ملم، والحواف الجانبية - 61 ملم. ما هي مساحة السطح الجانبي من هذا الشكل المتعدد السطوح؟

القرار. المنطق في ذلك هي نفسها كما هو موضح في №2 المهمة. فقط أعطيت الهرم هناك إلى ساحة في القاعدة، والآن هو مسدس.

يتم احتساب الخطوة الأولى من منطقة قاعدة الصيغة أعلاه ^{(6 * 22 2) / (} 4 * TG (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^CM2.

الآن عليك أن تجد نصف محيط من مثلث متساوي الساقين، وهو وجه الجانب. (22 + 61 * 2) :. = 72 سم 2 لا يزال على صيغة هيرون لحساب مساحة كل من المثلث، ثم اضربها ستة أضعاف، وتلك التي تحولت إلى القاعدة.

العمليات الحسابية على صيغة هيرو: √ (72 * (72-22) * (72-61) ²⁾ = √435600 = 660 سم ^2. الحسابات التي من شأنها أن توفر مساحة الجانبية: 660 * 6 = 3960 سم ^2. ويبقى لإضافتها إلى معرفة السطح كله: 5217،47≈5217 سم ^2.

الجواب. أسباب - 726√3 سم ^2، والسطح الجانب - 3960 سم ^2، والمنطقة بأكملها - 5217 سم ^2.