مشاكل حلها باستخدام المعادلة. حل المشاكل في الرياضيات

في سياق الرياضيات المدرسية هناك دائما مشاكل. بعض ترويضه في عدة أعمال، والبعض الآخر يتطلب بعض اللغز.

المشاكل التي تحل مع مساعدة من المعادلة هي فقط للوهلة الأولى صعبة. إذا كنت تمارس، ثم هذه العملية سوف تصل إلى تلقائي.

الأشكال الهندسية

من أجل فهم هذا السؤال، تحتاج إلى فهم جوهر. قراءة بعناية الشرط، فمن الأفضل لإعادة قراءة عدة مرات. مشاكل المعادلات هي فقط للوهلة الأولى صعبة. دعونا نعتبر مثالا لبداية الأكثر بسيطة.

نظرا للمستطيل، تحتاج إلى العثور على منطقتها. وبالنظر إلى أن العرض هو 48٪ أصغر من طول، محيط المستطيل هو 7.6 سم.

حل المشاكل في الرياضيات يتطلب قراءة متأنية، والمنطق. دعونا التعامل معها معا. ماذا تحتاج إلى أن تأخذ في الاعتبار أولا وقبل كل شيء؟ يشار إلى طول x. لذلك، في معادلتنا، والعرض هو 0.52x. نحن نعطي محيط - 7.6 سم. دعونا نجد نصف نصف، لهذا 7.6 سم نحن تقسيم إلى 2، فإنه يساوي 3.8 سم. لقد حصلنا على معادلة مع المساعدة التي نجد طول وعرض:

0.52x + x = 3.8.

عندما نحصل على x (طول)، فإنه لن يكون من الصعب العثور على 0.52x (العرض). إذا كنا نعرف هذه الكميتين، ثم نجد الجواب على السؤال الرئيسي.

المشاكل التي تحل بمساعدة المعادلة ليست معقدة كما يبدو، يمكننا أن نفهم هذا من المثال الأول. وجدنا الطول × = 2.5 سم، والعرض (سنقوم بتعيين y) 0.52x = 1.3 سنتيمتر. نمر إلى الساحة. تم العثور عليه من الصيغة البسيطة S = x * y (للمستطيلات). في مشكلتنا، S = 3.25. هذا سيكون الجواب.

دعونا ننظر في بعض الأمثلة على حل المشاكل مع إيجاد منطقة. وهذه المرة نأخذ مستطيل. حل المشاكل في الرياضيات على العثور على محيط، ومنطقة أرقام مختلفة في كثير من الأحيان. نقرأ حالة المشكلة: يتم إعطاء المستطيل، طوله هو 3.6 سم أكبر من العرض، الذي هو 1/7 من محيط هذا الرقم. ابحث عن منطقة هذا المستطيل.

وسيكون من المناسب الإشارة إلى عرض المتغير x، وطول ( x + 3.6) سنتيمتر. دعونا العثور على محيط:

P = 2x + 3.6 .

لا يمكننا حل المعادلة، لأن لدينا متغيرين في ذلك. لذلك نحن ننظر مرة أخرى في الشرط. وتقول أن العرض هو 1/7 من محيط. نحصل على المعادلة:

1/7 (2x + 3.6) = x .

لراحة الحل، ضرب كل جزء من المعادلة بنسبة 7، لذلك نحن التخلص من جزء:

2x + 3.6 = 7x.

بعد الحل، نحصل على x (عرض) = 0.72 سنتيمتر. معرفة العرض، نجد طول:

0.72 + 3.6 = 4.32 سم.

الآن نحن نعرف طول وعرض، الإجابة على السؤال الرئيسي حول ما يساوي مساحة المستطيل.

S = x * y ، S = 3،1104 سم.

أنابيب مع الحليب

حل المشاكل بمساعدة المعادلات يسبب الكثير من الصعوبات لتلاميذ المدارس، على الرغم من أن هذا الموضوع يبدأ في الصف الرابع. هناك العديد من الأمثلة، نظرنا في العثور على مساحة الأرقام، والآن قليلا مشتتا من الهندسة. دعونا ننظر في مهام بسيطة مع تبويب، أنها تساعد بصريا: لذلك البيانات التي تساعد في الحل هو أفضل ينظر.

دعوة الأطفال لقراءة حالة المشكلة وإنشاء جدول لمساعدتك على تكوين المعادلة. وهنا الشرط: هناك نوعان من العلب، في أول ثلاث مرات أكثر من الحليب في الثانية. إذا كان الأول صب خمسة لتر في الثانية، وسيتم تقسيم الحليب بالتساوي. سؤال: كم كان الحليب في كل علبة؟

للمساعدة في الحل، تحتاج إلى إنشاء جدول. ما الذي يجب أن يبدو عليه؟

الحل

	كان	أصبح
1 يمكن	3	3-5
2 علب	س	X + 5

كيف سيساعد ذلك في صياغة المعادلة؟ ونحن نعلم أنه نتيجة للحليب أصبح متساويا، وبالتالي فإن المعادلة ستبدو كما يلي:

3x-5 = x + 5؛

2x = 10؛

X = 5.

وجدنا الكمية الأولية من الحليب في الثانية يمكن، وهو ما يعني أنه في أول واحد كان هناك: 5 * 3 = 15 لترا من الحليب.

الآن تفسير بسيط على تجميع الجدول.

لماذا قمنا بتعيين أول يمكن ل 3 X: في شرط أن ينص على أن مدفع الحليب الثاني هو أقل ثلاث مرات. ثم نقرأ أن 5 لترات تم تصريفها من العلبة الأولى، ومن ثم أصبحت 3x-5 ، وفي الثانية سكبوا: x + 5 . فلماذا نساوي هذه الظروف؟ في حالة المهمة يقال أن الحليب قد أصبح متساويا.

حتى نحصل على الجواب: المدفع الأول هو 15 لترا، والثانية - 5 لترا من الحليب.

تحديد العمق

حسب حالة المشكلة: عمق البئر الأول هو 3.4 متر أكبر من الثانية. وازداد البئر الأول بمقدار 21.6 متر، والثانية - ثلاث مرات، بعد هذه الأعمال الآبار لها نفس العمق. فمن الضروري لحساب ما عمق كل بئر كان أصلا.

طرق حل المشاكل عديدة، يمكن للمرء أن يفعل الإجراءات، وخلق المعادلات أو نظامها، ولكن الخيار الثاني هو الأكثر ملاءمة. للذهاب إلى الحل، ونحن إنشاء جدول، كما هو الحال في المثال السابق.

الحل

	كان	أصبح
1 جيدا	X + 3.4	X + 3.4 + 21.6
2 آبار	س	3

ننتقل الآن إلى صياغة المعادلة. وبما أن الآبار من نفس العمق، فإن لها الآتي:

X + 3.4 + 21.6 = 3x؛

X = 3x = -25؛

-2x = -25؛

X = -25 / -2؛

X = 12.5

وجدنا العمق الأصلي للبئر الثاني، والآن يمكننا أن نجد الأول:

12.5 + 3.4 = 15.9 م.

بعد الانتهاء من الإجراءات، نكتب الجواب: 15.9 م، 12.5 م.

اثنين من الإخوة

لاحظ أن هذه المهمة تختلف عن تلك السابقة، لأنه من شرط في البداية كان هناك نفس العدد من الكائنات. وانطلاقا من هذا، يتم وضع الجدول المساعد في ترتيب عكسي، وهذا هو، من "أصبح" إلى "كان".

الشرط: أعطي شقيقين عددا متساويا من المكسرات، ولكن أعطى الأكبر شقيقه 10، بعد أن المكسرات من الأصغر سنا أصبحت خمس مرات أكثر. كم عدد المكسرات هناك لكل صبي؟

الحل

	كان	أصبح
كبير	Х + 10	س
أصغر	5 × 10	5X

نحن نشكل المعادلة:

X + 10 = 5x - 10؛

-4x = -20؛

Х = 5 - أصبح المكسرات في الأخ الأكبر؛

5 * 5 = 25 - الأخ الأصغر.

الآن يمكنك كتابة الجواب: 5 الجوز. 25 الجوز.

شراء

تحتاج المدرسة لشراء الكتب وأجهزة الكمبيوتر المحمولة، وأول تكلفة أكثر من الثانية في 4.8 روبل. تحتاج إلى حساب كم واحد كتاب و كتاب واحد التكلفة، إذا قمت بشراء نفس المبلغ من المال مع خمسة كتب و واحد وعشرون أجهزة الكمبيوتر المحمولة.

قبل الشروع في حل، يجدر الإجابة على الأسئلة التالية:

• ما هي المشكلة في المشكلة؟
• كم دفعوا؟
• ماذا اشتريت؟
• ما هي القيم التي يمكن تسويتها؟
• ما الذي تحتاج إلى معرفته؟
• ما هي قيمة x ؟

إذا أجبت على جميع الأسئلة، ثم ننتقل إلى الحل. في هذا المثال، قيمة x يمكن أن تؤخذ على أنها سعر دفتر واحد، وتكلفة الكتاب. لننظر في متغيرين محتملين:

1. X هو تكلفة دفتر واحد، ثم x + 4.8 هو سعر الكتاب. وانطلاقا من هذا، نحصل على المعادلة: 21x = S (x + 4.8).
2. X هو تكلفة الكتاب، ثم س هو 4.8 هو سعر دفتر الملاحظات. المعادلة لها الشكل: 21 (x - 4.8) = 5x.

يمكنك اختيار خيار أكثر ملاءمة لنفسك، ثم حل المعادلتين ومقارنة الإجابات، يجب أن تتزامن على العموم.

الطريقة الأولى

حل المعادلة الأولى:

21x = 5 (x + 4.8)؛

4،2х = х + 4،8؛

4،2х - х = 4،8؛

3،2х = 4،8؛

Х = 1،5 (روبل) - تكلفة دفتر واحد؛

4.8 + 1.5 = 6.3 (روبل) - تكلفة كتاب واحد.

طريقة أخرى لحل هذه المعادلة (الأقواس الفاصلة):

21x = 5 (x + 4.8)؛

21x = 5x + 24؛

16x = 24؛

Х = 1،5 (روبل) - تكلفة دفتر واحد ؛

1،5 + 4،8 = 6،3 (روبل) - تكلفة كتاب واحد.

الطريقة الثانية

5x = 21 (x = 4.8)؛

5x = 21x - 100.8؛

16x = 100.8؛

Х = 6،3 (روبل) - تكلفة كتاب واحد؛

6.3 - 4.8 = 1.5 (روبل) - تكلفة دفتر واحد.

كما يمكن أن يرى من الأمثلة، الأجوبة متطابقة، وبالتالي، يتم حل المشكلة بشكل صحيح. مشاهدة لصحة الحل، في مثالنا، يجب أن الإجابات لا تكون سلبية.

هناك مشاكل أخرى يمكن حلها بمساعدة معادلة، على سبيل المثال، على الحركة. دعونا ننظر فيها بمزيد من التفصيل في الأمثلة التالية.

سيارتان

في هذا القسم سوف نناقش مهام الحركة. لتكون قادرة على حلها، تحتاج إلى معرفة القاعدة التالية:

S = V * T،

S هو المسافة، V هو السرعة، و T هو الوقت.

دعونا نحاول النظر في مثال.

تركت سيارتان في وقت واحد من النقطة أ إلى النقطة ب. سافر أول المسافة على نفس السرعة، والنصف الأول من الطريق كان يسير بسرعة 24 كم / ساعة، والثانية - 16 كم / ساعة. ومن الضروري تحديد سرعة سائق السيارات الأول، إذا جاء في النقطة B في وقت واحد.

ما نحتاج إليه لتكوين المعادلة: المتغير الرئيسي V ₁ (سرعة السيارة الأولى)، ثانوي: S - باث، T ₁ - الوقت في مسار السيارة الأولى. المعادلة: S = V ₁ * T _{1 .}

التالي: السيارة الثانية في النصف الأول من الطريق (S / 2) قاد بسرعة V ₂ = 24 كم / ساعة. نحصل على التعبير: S / 2 = 24 * T _{2 .}

الجزء التالي من الطريق كان يقود بسرعة V ₃ = 16 كم / ساعة. نحصل على S / 2 = 16 * T ₃ .

وعلاوة على ذلك من الواضح أن السيارات وصلت في نفس الوقت، وبالتالي T ₁ = T ₂ + T ₃ . الآن علينا أن نعبر عن المتغيرات T ₁ ، T ₂ ، T ₃ من شروطنا السابقة. نحصل على المعادلة: S / V ₁ = (S / 48) + (S / 32).

يتم أخذ S وحدة، ونحن حل المعادلة:

1 / V ₁ = 1/48 + 1/32؛

1 / V ₁ = (2/96) + (3/96)؛

1 / V ₁ = 5/96؛

V ₁ = 96/5؛

V ₁ = 19.2 كم / ساعة.

هذا هو الجواب. المشاكل التي تم حلها باستخدام المعادلة معقدة فقط للوهلة الأولى. بالإضافة إلى ما سبق، يمكنك تلبية مهام العمل، ما هو عليه، والنظر في القسم التالي.

التحدي الوظيفي

لحل هذا النوع من المهام، تحتاج إلى معرفة الصيغة:

A = فت ،

حيث A هو العمل، V هو الإنتاجية.

للحصول على وصف أكثر تفصيلا، تحتاج إلى إعطاء مثال. موضوع "حل المشاكل بمعادلة" (الصف 6) قد لا تحتوي على مثل هذه المشاكل، لأن هذا هو مستوى أكثر تعقيدا، ولكن مع ذلك نقدم مثالا على التعارف.

قراءة الحالة بعناية: يعمل عاملان معا ويخططان لأداء لمدة اثني عشر يوما. من الضروري تحديد المدة التي يستغرقها الموظف الأول لتحقيق نفس القاعدة نفسها. ومن المعروف أنه يؤدي مقدار العمل لمدة يومين كموظف ثان في ثلاثة أيام.

حل المشاكل لصياغة المعادلات يتطلب قراءة دقيقة للحالة. أول شيء نفهمه من المهمة، أن العمل لم يتم تعريف، الوسائل، ونحن نعتبرها وحدة، وهذا هو، A = 1 . إذا كانت المشكلة تشير إلى عدد معين من أجزاء أو لتر، ثم ينبغي أن تؤخذ العمل من هذه البيانات.

ونحن نشير إلى إنتاجية العمال الأول والثاني من خلال V ₁ و V _2، على التوالي، في هذه المرحلة، والمعادلة التالية ممكنة:

1 = 12 (V ₁ + V ₂ ) .

ماذا تقول لنا هذه المعادلة؟ أن يتم كل عمل من قبل شخصين في اثني عشر ساعة.

وعلاوة على ذلك يمكننا أن نذكر: 2V ₁ = 3V ₂ . لأن الأول لمدة يومين لا بقدر الثاني في ثلاثة. لقد حصلنا على نظام المعادلات:

1 = 12 (V1 + V2)؛

2V ₁ = 3V _2.

على أساس حل النظام، حصلنا على معادلة مع متغير واحد:

1 - 8V ₁ = 12V _1؛

V ₁ = 1/20 = 0.05.

هذه هي إنتاجية العمل للعامل الأول. الآن يمكننا أن نجد الوقت الذي أول شخص سوف تتعامل مع كل عمل:

A = V ₁ * T _1؛

1 = 0.05 * T ₁ ؛

T ₁ = 20.

منذ أن تم اتخاذ اليوم وحدة من الوقت، والجواب هو: 20 يوما.

إعادة تشكيل المشكلة

إذا كنت تتقن مهارة لحل مشاكل المرور، وكان لديك بعض الصعوبات مع المهام للعمل، فمن الممكن الحصول على حركة المرور من العمل. بأي طريقة؟ إذا أخذنا المثال الأخير، فإن الشرط هو كما يلي: أوليج وديما تتحرك نحو بعضها البعض، يجتمعون في 12 ساعة. بالنسبة لكيفية التغلب على المسار بشكل مستقل أوليغ، إذا كان من المعروف أنه في ساعتين يسافر الطريق مساوية لطريقة ديما في ثلاث ساعات.