تحويل فورييه. تحويل فورييه السريع. تحويل فورييه المنفصل

تحويل فورييه - التحول، وربط وظيفة معينة لمتغير حقيقي. يتم تنفيذ هذه العملية في كل مرة ونحن ننظر الأصوات المختلفة. الأذن تنتج التلقائي "الحساب"، والتى تلبى يمكن عينا إلا بعد الفحص من قسم الرياضيات العليا. جهاز السمع في التحول البشري يبني، والتي يتم توفيرها الصوت (حركة الذبذبات التقليدية من الجزيئات في وسيلة مرنة، الذي نشر في شكل موجة في وسط صلب، سائل أو غاز) في مجموعة من القيم متتالية من مستوى الصوت من طن من ارتفاعات متفاوتة. بعد ذلك، الدماغ يتحول المعلومات في كل صوت مألوف.

الرياضية تحويل فورييه

تحويل الموجات الصوتية أو العمليات الاهتزاز أخرى (عن طريق انبعاث الضوء والمد والجزر في المحيطات ودورات نجمي أو الشمسية) لا يمكن أن يؤديها وعن طريق الطرق الرياضية. وهكذا، وذلك باستخدام هذه التقنيات، وظائف يمكن توسيعها عن طريق إدخال عمليات الذبذبات مجموعة من المكونات الجيبية، أي المنحنيات المتموجة التي تذهب من الحد الأدنى إلى الحد الأقصى وبعد ذلك مرة أخرى إلى أدنى حد ممكن، مثل موجة البحر. فورييه التحول - وظيفة التحول الذي يصف مرحلة أو سعة كل المنحنى السيني المقابلة لتردد معين. المرحلة هي نقطة الانطلاق لالمنحنى، والسعة - من ارتفاعه.

تحويل فورييه (ترد أمثلة في الصورة) هو أداة قوية جدا، والذي يستخدم في مختلف المجالات العلمية. في بعض الحالات، يتم استخدامه كحل معادلات معقدة نوعا ما والتي تصف العمليات الحيوية التي تحدث تحت تأثير الضوء والحرارة أو الطاقة الكهربائية. وفي حالات أخرى، فإنه يسمح لك لتحديد المكونات العادية في الطول الموجي المعقدة، ونتيجة لهذا يمكن أن يكون صحيحا لتفسير الملاحظات التجريبية المختلفة في الكيمياء والطب وعلم الفلك.

معلومات تاريخية

وكان أول شخص لتطبيق هذا الأسلوب عالم الرياضيات الفرنسي زان باتيست فور. التحويل، الذي سمي لاحقا من بعده، وكان يستخدم في الأصل لوصف آلية توصيل الحرارة. فورييه حياته كلها الكبار تشارك في دراسة خصائص الحرارة. وقدم مساهمة كبيرة لنظرية رياضية لتحديد جذور المعادلات الجبرية. كان فورييه أستاذ التحليل في مدرسة الفنون التطبيقية، وزير معهد علم المصريات، وخدمة الإمبريالية، والتي تسببت في ضجة في وقت تشييد الطريق الى تورينو (تحت قيادته واستنزفت أكثر من 80 ألف كيلو متر مربع من المستنقعات ملاريا). ومع ذلك، لم كل هذا النشاط لم يتوقف العالم تشارك في التحليل الرياضي. في عام 1802 تم اشتقاق ذلك المعادلة التي تصف انتشار الحرارة في المواد الصلبة. في عام 1807، اكتشف العلماء طريقة لحل هذه المعادلة، التي أصبحت تعرف باسم "تحويل فورييه".

تحليل التوصيل الحراري

استخدم الباحثون طريقة رياضية لوصف آلية توصيل الحرارة. ومن الأمثلة المناسبة، حيث لا يجد صعوبة في الحساب هو انتشار الطاقة الحرارية من قبل عصابة الحديد، جزء واحد مغمورة في النار. لإجراء تجارب فورييه جزء أحمر حار من الحلبة ودفنه في الرمال الناعمة. بعد ذلك، قامت قياسات درجات الحرارة خارج على الجانب الآخر منها. في البداية، وتوزيع الحرارة غير منتظم: جزء من حلقة - الباردة، والآخر - والساخنة بين المناطق يمكن أن نلاحظ التدرج حادا في درجات الحرارة. ومع ذلك، خلال توزيع الحرارة على سطح المعدن، فإنه يصبح أكثر تجانسا. لذلك، في وقت قريب، وهذه العملية تستغرق شكل موجة جيبية. الرسم البياني الأول يزيد تدريجيا ويقلل أيضا بسلاسة ودقة قوانين الاختلاف من جيب التمام أو دالة الجيب. موجة التعادل تدريجيا ونتيجة لذلك يصبح درجة حرارة موحدة على كامل سطح الحلبة.

صاحب هذا الأسلوب يفترض أن التوزيع الأولي هو عدم انتظام جدا يمكن أن تتحلل إلى عدد من موجات الجيب الابتدائية. وسيكون لكل منهم مرحلته (الموقف المبدئي) والحد الأقصى لدرجة الحرارة. وهكذا كل هذه التغييرات المكون من الحد الأدنى إلى الحد الأقصى والعودة لاستكمال الثورة في جميع أنحاء مرات حلقة عدد صحيح. المكون لها وهي الفترة التي كانت تسمى التوافقي الأساسي، والقيمة مع اثنين أو أكثر الفترات - الحلقة الثانية وهلم جرا. على سبيل المثال، وهي وظيفة الرياضية التي تصف الحد الأقصى لدرجة الحرارة، ومرحلة أو موقف تسمى تحويل فورييه وظيفة التوزيع. جلبت عالم مكون واحد يصعب وصف رياضي، لأدوات سهلة الاستخدام - الصفوف من الجيب وجيب التمام، في كمية إعطاء التوزيع الأولي.

جوهر التحليل

تطبيق هذا التحليل إلى تحويل توزيع الحرارة على جسم صلب، وجود شكل حلقي، مسبب عالم الرياضيات أن فترات متزايدة من المكونات الجيبية تؤدي إلى التخميد السريع. ويعتبر هذا بوضوح على التوافقيات الرئيسية والثانية. درجة الحرارة النهائية تصل مرتين القيم القصوى والدنيا في مسار واحد، وفي أول - مرة واحدة فقط. وتبين أن المسافة التي يقطعها الحرارة في التوافقي الثاني هو نصف ذلك من جوهر. وبالإضافة إلى ذلك، فإن التدرج في النصف الثاني يكون أيضا أكثر حدة من الأولى. لذلك، لأن تدفق الحراري أكثر كثافة يمر أرملة الحد الأدنى من المسافة، ثم وهذا سوف ثبط التوافقي أربع مرات أسرع من معظم الأحوال، بوصفها وظيفة من الزمن. في ما يلي العملية ستكون أسرع. رياضيات يعتقد أن هذا الأسلوب يسمح لنا لحساب عملية التوزيع الأولي درجة الحرارة مع مرور الوقت.

المعاصرين استدعاء

أصبح تحويل فورييه الخوارزمية تحديا للأسس النظرية والرياضيات في ذلك الوقت. في أوائل القرن التاسع عشر، لم معظم العلماء البارزين، بما في ذلك لاغرانج، لابلاس، بواسون، يجيندر وبيوت لا يقبل تأكيده أن درجة حرارة التوزيع الأولي وتتحلل إلى مكونات في شكل الموجة الأساسية والتردد العالي. ومع ذلك، يمكن لأكاديمية العلوم عدم تجاهل النتائج التي تم التوصل الرياضيات، ومنحته جائزة لنظرية التوصيل للحرارة من القوانين، فضلا عن إجراء مقارنة مع التجارب الفيزيائية. في نهج فورييه، والاعتراض الرئيسي هو أن وظيفة متقطعة يمثله مبلغ من عدة وظائف الجيبية، والتي هي مستمرة. بعد كل شيء، فهي تصف انفجار المستقيمة والمنحنية الخطوط. وكان عالم المعاصر أبدا اجه مثل هذه الحالة، عندما وظائف متقطعة وصفت من قبل مجموعة من مستمرة، مثل الدرجة الثانية، وخطي، شرط أو العارضين. في حالة عدم وجود الرياضيات كانت على حق في تأكيداته، مجموع سلسلة لانهائية من الدوال المثلثية ينبغي أن يقتصر على سرعة بالضبط. في حين مثل هذا الادعاء يبدو سخيفة. ومع ذلك، على الرغم من شكوك بعض الباحثين (على سبيل المثال كلود نافيير، صوفي Zhermen) توسيع نطاق البحث وأخرجهم من تحليل توزيع الحرارة. A الرياضيات، وفي الوقت نفسه، استمر يعاني من مسألة ما إذا كان يتم تقليل مبلغ من عدة وظائف الجيبية إلى التمثيل الدقيق للانفجار.

تاريخ 200 عام

هذه النظرية قد تطورت على مر قرنين من الزمان، واليوم يتم تشكيل أخيرا. مع مساعدة من وظائف المكانية أو الزمانية يتم تقسيم إلى مكونات الجيبية التي لها تردد، المرحلة والسعة. يتم الحصول على هذا التحويل من قبل اثنين من أساليب رياضية مختلفة. يستخدم أولهم في حالة عندما يكون المصدر وظيفة مستمرة، والثانية - في حالة حيث يتم تمثيل من قبل عدد وافر من التغييرات الفردية المنفصلة. إذا نشأ التعبير عن القيم التي تم تعريفها من قبل فترات منفصلة، ويمكن تقسيمها إلى عدة التعبير الجيبية مع ترددات منفصلة - من أدنى ثم الثاني والثالث وهكذا حتى تصل الرئيسي. ويسمى هذا المبلغ سلسلة فورييه. إذا كان التعبير الأولي يحدد قيمة كل عدد حقيقي، ويمكن تقسيمها إلى عدة الجيبية جميع الترددات الممكنة. ويسمى فورييه لا يتجزأ، وقرار ينطوي على التحول من وظيفة لا يتجزأ. بغض النظر عن طريقة للحصول على التحول، ولكل تردد ينبغي أن تشير رقمين: السعة والتردد. يتم التعبير عن هذه القيم باعتبارها واحدة عدد معقدة. التعبير المتغيرات المعقدة نظرية جنبا إلى جنب مع تحول فورييه لتنفيذ العمليات الحسابية سمحت تصميم مختلف الدوائر الكهربائية، وتحليل الاهتزازات الميكانيكية، ودراسة آلية انتشار الموجات وآخر.

تحويل فورييه اليوم

في الوقت الحاضر، ودراسة هذه العملية يتلخص أساسا إلى إيجاد وسائل فعالة للانتقال من وظيفة إلى تحويله مرة أخرى إلى الذهن. ويسمى هذا الحل فورييه المباشر ومعكوس تحويل. ماذا يعني ذلك؟ من أجل تحديد يتجزأ وجعل فورييه المباشر تحويل، يمكنك استخدام الطرق الرياضية، ولكن يمكنك التحليلية. على الرغم من حقيقة أنه عندما يتم استخدامها في الممارسة العملية هناك بعض الصعوبات، وبالفعل تم العثور على معظم التكاملات ودخل في كتيبات الرياضية. مع تعبيرات يمكن حساب مساعدة من الطرق العددية، وشكل من الذي يقوم على أساس البيانات التجريبية، وهي وظيفة التي التكاملات في الجداول مفقودة، وأنها من الصعب أن نتصور في شكل تحليلي.

قبل ظهور حسابات هندسة الكمبيوتر كانت مثل هذه التحولات مملة جدا، فإنها تتطلب دليل على تنفيذ عدد كبير من العمليات الحسابية التي تعتمد على عدد من النقاط التي تصف الدالة الموجية. لتسهيل تسوية اليوم، وهناك برامج خاصة، يسمح لتنفيذ جديدة الأساليب التحليلية. لذلك، في عام 1965، تم إنشاؤها Dzheyms كولي وDzhon Tyuki البرامج التي أصبحت تعرف باسم "تحويل فورييه السريع". أنه يوفر الوقت للحساب عن طريق الحد من عدد من الضرب في تحليل المنحنى. "تحويل فورييه السريع" وتستند هذه الطريقة على تقسيم المنحنى إلى عدد كبير من القيم عينة موحدة. وفقا لذلك، يتم تقليل عدد من الضرب إلى النصف في الوقت نفسه خفض عدد من النقاط.

تطبيق تحويل فورييه

وتستخدم هذه العملية في مختلف المجالات: في نظرية الأعداد، والفيزياء، ومعالجة الإشارات، التوافقية، نظرية الاحتمالات، والترميز، والإحصاءات، وعلم المحيطات، والبصريات، والصوتيات، وهندستها أخرى. تستند الاحتمالات الغنية لاستخدامها على عدد من الخصائص المفيدة، والتي تسمى "خصائص تحويل فورييه". دعونا نبحث لهم.

1. وظيفة التحويل مشغل الخطية وتطبيع المقابل الوحدوي. وتعرف هذه الخاصية كما في نظرية Parseval، أو في الحالة العامة، ونظرية Plansherelja أو Pontrjagin الثنائية.

2. تحويل هو عكسها. وعلاوة على ذلك، ونتيجة عكسية هي شكل مشابه إلى حد كبير كما هو الحال في مباشرة معالجة.

3. التعابير الأساسية الجيبية هي وظائف متباينة الخاصة بهم. وهذا يعني أن هذا التمثيل يغير المعادلات الخطية ذات المعاملات الثابتة في جبري التقليدية.

4. وفقا لنظرية "التفاف"، والعملية تجعل عملية معقدة في الضرب الابتدائية.

5. المنفصلة تحويل فورييه يمكن تصميم بسرعة على الكمبيوتر باستخدام طريقة "سريع".

الاختلافات في تحويل فورييه

1. في أغلب الأحيان يستخدم هذا المصطلح للإشارة إلى التحول المستمر، وتوفير أي تعبير للتكامل تربيعيا كمجموع التعبير الأسي معقدة مع الترددات وسعة زاوية محددة. هذا النوع عدة أشكال مختلفة، والتي قد تكون المعاملات الثابتة مختلفة. يتضمن الأسلوب المستمر جدول تحويل، والتي يمكن العثور عليها في كتيبات الرياضية. وهناك حالة معممة هي تحويل كسور، حيث يمكن أن تثار هذه العملية إلى السلطة الحقيقية المرجوة.

2. طريقة المستمر هو تعميم تقنية السابقة من سلسلة فورييه محددة لأي مهام دورية أو التعبيرات، والتي توجد في منطقة محدودة وتمثيلهم على شكل سلسلة من الجيوب.

3. المتقطعة تحويل فورييه. وتستخدم هذه الطريقة في حساب لحساب العلمي ومعالجة الإشارات الرقمية. لتنفيذ هذا النوع من الحساب هو مطلوب أن يكون لها وظيفة تحديد على مجموعة منفصلة من النقاط الفردية، والمنطقة الدورية أو محدودة بدلا من التكامل فورييه مستمرة. ويمثل تحويل الإشارات في هذه الحالة في شكل مبلغ من الجيوب. استخدام طريقة "السريع" يسمح استخدام الحلول الرقمية لجميع الأغراض العملية.

4. نافذة تحويل فورييه نسخة المعمم للأسلوب الكلاسيكي. وخلافا للحلول القياسية عند استخدام الطيف إشارة، وهو مأخوذ في مجموعة كاملة من وجود هذا المتغير غير ذات أهمية خاصة هنا ليست سوى توزيع التردد المحلي مع الحفاظ على المتغير الأصلي (الوقت).

5. فورييه ثنائي الأبعاد تحويل. وتستخدم هذه الطريقة للعمل مع صفائف ثنائية الأبعاد من البيانات. في مثل هذه الحالة، يتم تنفيذ التحويل في اتجاه واحد، ومن ثم - في الآخر.

استنتاج

اليوم، متجذر طريقة فورييه بقوة في مختلف المجالات العلمية. على سبيل المثال، في عام 1962 فتحت شكل الحلزون المزدوج DNA باستخدام تحليل فورييه بالتزامن مع حيود الأشعة السينية. ركزت بلورات الأخيرة على الألياف DNA، مما أدى إلى الصورة التي يتم الحصول عليها الحيود، وسجلت على الفيلم. أعطت هذه الصورة من المعلومات حول قيمة السعة باستخدام تحويل فورييه لهذا التركيب البلوري. البيانات التي تم الحصول عليها مرحلة بمقارنة بطاقات DNA الحيود مع البطاقات التي يتم الحصول عليها في تحليل البنى الكيميائية مماثلة. ونتيجة لذلك، استعادة الأحياء التركيب البلوري - وظيفة الأصلي.

تحويل فورييه تلعب دورا كبيرا في دراسة الفضاء الخارجي، فيزياء المواد شبه الموصلة والبلازما والصوتيات الميكروويف، وعلم المحيطات، والرادار، علم الزلازل والفحوص الطبية.